Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意的n∈N⁺，點(diǎn)（n，S_n），均在函數(shù)y=2^x+r（其中r為常數(shù)）的圖象上．
（1）求r的值；
（11）記b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N⁺
證明：對(duì)任意的n∈N⁺，不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

＞

n+1

成立．

Answer 1

分析：（1）由已知得 S_n=2ⁿ+r，利用數(shù)列中a_n與 S_n關(guān)系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

，求{a_n}的通項(xiàng)公式，再據(jù)定義求出r的值；
（2）由（1）知，a_n=2^n-1，所以b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n，則

bn+1

bn

=

2n+1

2n

，所以

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

…

2n+1

2n

，再用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

3

2

•

5

4

…

2n+1

2n

＞

n+1

成立．

解答：解：（1）因?yàn)閷?duì)任意的n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n），均在函數(shù)y=2^x+r（其中r為常數(shù)）的圖象上
所以得S_n=2ⁿ+r，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2+r，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+r-（2^n-1+r ）=2^n-1，
又因?yàn)閧a_n}為等比數(shù)列，所以公比為2，r=-1，
（2）由（1）知，a_n=2^n-1，
∴b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n
則

bn+1

bn

=

2n+1

2n

，
所以

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

…

2n+1

2n

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

3

2

•

5

4

…

2n+1

2n

＞

n+1

成立．
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

3

2

，右邊=

2

，因?yàn)?span id="jbnmanb" class="MathJye">

3

2

＞

2

，所以不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即

3

2

•

5

4

…

2k+1

2k

＞

k+1

成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

3

2

•

5

4

…

2k+1

2k

•

2k+3

2k+2

＞

k+1

•

2k+3

2k+2

=

(2k+3)2 4(k+1)

=

(k+1)+1+ 1 4(k+1)

＞

k+2

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．
∴不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

＞

n+1

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)歸納法，考查等比數(shù)列的定義，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)列中a_n與 S_n關(guān)系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

，正確掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟．