Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若A，B，C的度數(shù)成等差數(shù)列且b=

3

，則a+c的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),余弦定理

專題：計(jì)算題

分析：依題意可求得B=

π

3

，又b=

3

，利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

可將a+c轉(zhuǎn)化為相應(yīng)角的正弦和，利用輔助角公式即可求得a+c的最大值．

解答： 解：∵△ABC中，A，B，C的度數(shù)成等差數(shù)列，
∴B=

π

3

，又b=

3

，
∴

b

sinB

=

3

3 2

=2，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=2，
∴a=2sinA，c=2sinC，
∴a+c=2sinA+2sinC
=2sinA+2sin（

2π

3

-A）
=2[sinA+

3

2

cosA-（-

1

2

）sinA]
=2（

3

2

sinA+

3

2

cosA）
=2

3

sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1．
∴a+c的最大值為2

3

．
故答案為：2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理，考查三角函數(shù)間的關(guān)系與恒等變換，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．