Question

如圖，曲線段C是函數(shù)（x≥0）的圖象，C過(guò)點(diǎn)P₁（1，1）．過(guò)P₁作曲線C的切線交x軸于Q₁點(diǎn)，過(guò)Q₁作垂直于x軸的直線交曲線C于P₂點(diǎn)，過(guò)P₂的切線交x軸于Q₂點(diǎn)，…，如此反復(fù)，得到一系列點(diǎn)Q₁，Q₂，…，Q_n，設(shè)Q_n（a_n，0）．
（1）求a₁；
（2）求a_n的表達(dá)式；
（3）證明：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，求得過(guò)P₁切線方程，即可求得a₁；
（2）確定過(guò)的切線方程，利用直線過(guò)Q_n+1（a_n+1，0），可得a_n的表達(dá)式；
（3）證明，累加即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：，則…（2分）
過(guò)P₁切線方程：，可得，則．    …（4分）
（2）解：，過(guò)的切線方程：，…（6分）
該直線過(guò)Q_n+1（a_n+1，0），則
化簡(jiǎn)得，則…（8分）
（3）證明：，…（9分）
而4ⁿ+1＞2•2ⁿ=2ⁿ⁺¹，故…（11分）
所以==
所以…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．