Question

設f1(x)=

2

1+x

，fn+1(x)=f1[fn(x)]，且an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，則a₁+a₂+…+a₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)f_n+1與f_n的關系，求出a_n+1與a_n 的遞推關系，繼而求出通項公式，然后根據(jù)通項公式的特點求前2009項之和

解答：解：因為f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

所以

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=-

1

2

•

fn(0)-1

fn(0)+2

即a_n+1=-

1

2

•a_n
而a1=1/4
  a2=-1/8
∴an=

1

4

•(-

1

2

)n-1 
=(-

1

2

)n+1對于任何正整數(shù)n均成立
∴a₁+a₂+…+a2009=

1

6

[1+(

1

2

)2009]．
故答案為：

1

6

[1+(

1

2

)2009]．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，涉及到遞推關系的推導，屬于難題