Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2x+1+alnx有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂，且x₁＜x₂，則（　�。�

• A．f(x2)＜

  1+2ln2

  4

• B．f(x2)＜

  1-2ln2

  4

• C．f(x2)＞

  1-2ln2

  4

• D．f(x2)＞

  1+2ln2

  4

Answer 1

分析：對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)，由f′（x）=0有兩個(gè)不同的根x₁，x₂，利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求a的取值范圍；由x₁、x₂的關(guān)系，用x₂把a(bǔ)表示出來，求出f（x₂）表達(dá)式的最值即可．

解答：解：∵f（x）=x²-2x+1+alnx的定義域?yàn)椋?，+∞）．
∴f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，
∵f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴f′（x）=0有兩個(gè)不同的根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
∴2x²-2x+a=0的判別式△=4-8a＞0，即a＜

1

2

，
∴x₁=

1- 1-2a

2

，x₂=

1+ 1-2a

2

．     ①
又∵x₁+x₂=1，x₁•x₂=

a

2

＞0，
∴

1

2

＜x₂＜1，a=2x₂-2x22，
∴f（x₂）=x22-2x₂+1+（2x₂-2x22）lnx₂．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中

1

2

＜t＜1，
則g′（t）=2（1-2t）lnt．
當(dāng)t∈（

1

2

，1）時(shí)，g′（t）＞0，
∴g（t）在（

1

2

，1）上是增函數(shù)．
∴g（t）＞g（

1

2

）=

1-2ln2

4

．
故f（x₂）=g（x₂）＞

1-2ln2

4

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立的問題，是易錯(cuò)題．