Question

點(diǎn)P在曲線C：+y²=1上，若存在過P的直線交曲線C于A點(diǎn)，交直線l：x=4于B點(diǎn)，滿足|PA|=|PB|或|PA|=|AB|，則稱點(diǎn)P為“H點(diǎn)”，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線C上的所有點(diǎn)都是“H點(diǎn)”
B．曲線C上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“H點(diǎn)”
C．曲線C上的所有點(diǎn)都不是“H點(diǎn)”
D．曲線C上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是“H點(diǎn)”

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出-2≤x_P＜x_A≤2，利用相似三角形求得x_P和x_A的關(guān)系，設(shè)出PA的方程與橢圓方程聯(lián)立求得x_Ax_P的表達(dá)式，利用判別式大于0求得k和m的不等式關(guān)系，最后聯(lián)立①②③求得x_A的范圍，進(jìn)而通過x_A＜1時(shí)，x_P=2x_A-4＜-2，故此時(shí)不存在H點(diǎn)，進(jìn)而求得H點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍，判斷出題設(shè)的選項(xiàng)．
解答：解：由題意，P、A的位置關(guān)系對(duì)稱，于是不妨設(shè)-2≤x_P＜x_A≤2，（此時(shí)PA=AB）．
由相似三角形，2|4-x_A|=|4-x_P|
即：x_P=2x_A-4…①
設(shè)PA：y=kx+m，與橢圓聯(lián)立方程組，
解得
x_Ax_P=…②
∵△＞0
4k²＞m²-1…③
聯(lián)立①②③，得x_A²-2x_A＜
而0＜＜2
即x_A²-2x_A＜2
即1-≤x_A≤2
而當(dāng)x_A＜1時(shí)，x_P=2x_A-4＜-2，故此時(shí)不存在H點(diǎn)
又因?yàn)镻的位置可以和A互換（互換后即PA=PB），
所以H點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值為[-2，0]U[1，2]
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系問題．解題的關(guān)鍵是求得H點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍．