Question

【題目】已知圓：，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.

(1)求的軌跡方程；

(2)當(dāng)時(shí)，求的方程及的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】

（1）由得為的中點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，設(shè)出，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得結(jié)果；

（2）設(shè)的軌跡的圓心為，由 得到，求出直線(xiàn)的斜率，再由點(diǎn)斜式可得的方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求出到的距離，再由勾股定理求出，代入面積公式可得答案.

（1）由圓：可知圓心，半徑為4，

設(shè)，因?yàn)?/span>，所以為的中點(diǎn)，

所以，

所以，即，

化簡(jiǎn)得.

（2）由（1）知，的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，

由于，故在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，

又在圓上，從而，

所以，所以直線(xiàn)的斜率為，

所以直線(xiàn)的方程為，即，

則到直線(xiàn)的距離為，

又到的距離為，

所以，

所以的面積為.