已知拋物線C的頂點在原點, 焦點為F(0, 1).

(Ⅰ) 求拋物線C的方程;
(Ⅱ) 在拋物線C上是否存在點P, 使得過點P
的直線交C于另一點Q, 滿足PF⊥QF, 且
PQ與C在點P處的切線垂直?
若存在, 求出點P的坐標; 若不存在,請說明理由.
x2 = 4y ,滿足條件的點P存在,其坐標為P(±4,4)

(Ⅰ) 解: 設拋物線C的方程是x2 = ay,
則,       即a =" 4" .
故所求拋物線C的方程為x2 = 4y .            …………………(5分)
(Ⅱ) 解:設P(x1, y1), Q(x2, y2) ,
則拋物線C在點P處的切線方程是：,
直線PQ的方程是： .
將上式代入拋物線C的方程, 得：,
故 x1+x2=, x1x2=－8－4y1,
所以x2=－x1 , y2=+y1+4 .
而＝(x1, y1－1), ＝(x2, y2－1),
×＝x1 x2＋(y1－1) (y2－1)＝x1 x2＋y1 y2－(y1＋y2)＋1
＝－4(2+y1)+ y1(+y1+4)－(+2y1+4)+1
＝－2y1－－7＝(＋2y1＋1)－4(+y1+2)
＝(y1＋1)2－＝＝0,
故 y1＝4, 此時, 點P的坐標是(±4,4) . 經(jīng)檢驗, 符合題意.
所以,滿足條件的點P存在,其坐標為P(±4,4). ………………(15分)
練習冊系列答案
相關習題

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已知定點F（1，0），動點P在y軸上運動，過點P作PM交x軸于點M，并延長MP到點N，且
（Ⅰ）求動點N的軌跡方程；
（Ⅱ）直線l與動點N的軌跡交于A、B兩點，若，且，
求直線l的斜率k的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知橢圓的焦點F與拋物線C：的焦點關于直線x-y=0
對稱．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知定點A（a,b）,B(-a,0)(ab),M是拋物線C上的點，設直線AM，
BM與拋物線的另一交點為．求證：當M點在拋物線上變動時（只要存在
且）直線恒過一定點，并求出這個定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，是拋物線的焦點，為準線與軸的交點，直線經(jīng)過點．
（Ⅰ）直線與拋物線有唯一公共點，求的方程；


 
（Ⅱ）直線與拋物線交于、兩點記、的斜率分別為，．

（1）求證：為定值；　
（2）若點在線段上，且滿足
，求點的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

拋物線的準線方程為                       。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知點為拋物線上的一個動點,為圓上的動點,設點到拋物線的準線距離為,則的最小值為                  

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在 上有一點，它到 的距離與它到焦點的距離之和最小，則點的坐標是（  ）
A．（－2，1）B．（1，2）C．(2，1)　D．（－1，2）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設拋物線的焦點為，準線為，為拋物線上一點，，為垂足，如果直線斜率為，那么
A．B．8C．D．16

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若拋物線上一點P到定點A（0，1）的距離為2，則點P到
軸的距離為（    ）
A．0B．1C．2D．4

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