Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB中點．
（I）證明CD⊥平面POC；
（II）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值．
（Ⅲ）在側(cè)棱PC上是否存在點M，使得BM∥平面POD，若存在試求出，若不存往，清說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）過C點作CE⊥AD于E，△OCD中算出OC=、CD=2且OD=，由勾股定理的逆定理證出OC⊥CD．利用面面垂直的性質(zhì)與線面垂直的性質(zhì)，證出PO⊥CD，結(jié)合線面垂直判定定理即可證出CD⊥平面POC；
（II）設(shè)CD的中點為F，連結(jié)OF，分別以O(shè)B、OF、OP為x軸、y軸、z軸，建立直角坐標(biāo)系O-xyz．可得C、D、P、O各點的坐標(biāo)，從而可得、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法建立方程組，解出=（3，1，0）為平面P0D的一個法向量
，同理求出平面PCD的一個法向量為=（，，1）．利用空間向量夾角公式算出、夾角的余弦值為，即可得到二面角C-PD-O的平面角的余弦值；
（III）設(shè)側(cè)棱PC上存在點M且=λ，使得BM∥平面POD．算出向量=（-λ，-λ+1，2λ），根據(jù)平面的平行向量與其法向量互相垂直，得到•=0，解出，由此即可得到在側(cè)棱PC上存在點M，當(dāng)=時滿足BM∥平面POD．
解答：解：（I）平面ABCD內(nèi)，過C點作CE⊥AD于E
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=1，AB=2，AD=3，∴AE=1，CE=2
Rt△CDE中，DE=2，可得CD==2
∵Rt△BOC中，BO=AB=1，BC=1，∴OC==
同理，得OD==
∴OD²=10=OC²+CD²，可得△OCD是以CD為斜邊的直角三角形，
∴OC⊥CD
∵PA=PB，O是AB中點，∴PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?平面PAB，
∴PO⊥平面ABCD，結(jié)合CD?平面ABCD，得PO⊥CD
∵PO、OC是平面POC內(nèi)的相交直線，∴CD⊥平面POC；
（II）設(shè)CD的中點為F，連結(jié)OF，則直線OB、OF、OP兩兩互相垂直，
分別以O(shè)B、OF、OP為x軸、y軸、z軸，建立直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示
則C（1，1，0），D（-1，3，0），P（0，0，2），
可得=（0，0，2），=（-1，3，0），
設(shè)=（x，y，z）為平面P0D的一個法向量，則，
取y=1，得x=3且z=0，得=（3，1，0）
同理求出平面PCD的一個法向量為=（，，1）
∵cos＜，＞===
∴二面角C-PD-O的平面角的余弦值等于；
（III）設(shè)側(cè)棱PC上存在點M，使得BM∥平面POD，此時=λ，則
∵=（1，1，-2），=（0，1，0）
∴=λ=（-λ，-λ，2λ），可得=+=（-λ，-λ+1，2λ），
∵BM∥平面POD，=（3，1，0）為平面P0D的一個法向量
∴•=-3λ-λ+1=0，解之得
因此，側(cè)棱PC上存在點M，當(dāng)=時滿足BM∥平面POD．
點評：本題給出特殊的四棱錐，求證線面垂直、求二面角的余弦值并探索線面垂直的存在性．著重考查了面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量研究面面角、線面平行等知識，屬于中檔題．