Question

設(shè)a＞2，給定數(shù)列{a_n}，
（1）求證：a_n＞2；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，得出a_n+1=．利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（2）可利用作差比較、作商比較法證明．
解答：證明：（1）由得a_n+1=
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=a＞2，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即a_k＞2．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1-2==＞0，即a_k+1＞2
由①②可知a_n＞2成立．
（2）證法一：
a_n+1-a_n==＜0，
由（1）a_n＞2，∴a_n+1＜a_n，
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減．
證法二：
由（1）a_n＞2，==＜=1，
∴a_n+1＜a_n，
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，不等式的證明．考查轉(zhuǎn)化、推理、論證能力．