已知拋物線C1：y2＝4x的焦點(diǎn)與橢圓C2：＝1的右焦點(diǎn)F2重合，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)；

(Ⅰ)在△ABC中，若A(－4，0)，B(0，－3)，點(diǎn)C在拋物線y2＝4x上運(yùn)動(dòng)，求△ABC重心G的軌跡方程；

(Ⅱ)若P是拋物線C1與橢圓C2的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，求cosα·cosβ的值及△PF1F2的面積．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)設(shè)重心G(x，y)，則整理得將(*)式代入y2＝4x中，得(y＋1)2＝　∴重心G的軌跡方程為(y＋1)2＝　　6分

　　(Ⅱ)∵橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn)，由y2＝4x得F2(1，0)，∴b2＝8，橢圓方程為．設(shè)P(x1，y1)，由得，∴x1＝，x1＝－6(舍)．

　　∵x＝－1是y2＝4x的準(zhǔn)線，即拋物線的準(zhǔn)線過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F1．

　　設(shè)點(diǎn)P到拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線的距離為PN，則|PF2|＝|PN|．

　　又|PN|＝x1＋1＝，∴．

　　過點(diǎn)P作PP1⊥x軸，垂足為P1，在Rt△PP1F1中，cosα＝在Rt△PP1F2中，cos(π－β)＝，cosβ＝，∴cosαcosβ＝．

　　∵x1＝，∴|PP1|＝，∴　　12分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=4mx（m＞0）的焦點(diǎn)為F2，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F1，以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，離心率為
12
的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其右準(zhǔn)線的方程；
（2）用m表示P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得△PF1F2的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)m；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=x+7，圓C2：x2+y2=5．
（1）求證拋物線與圓沒有公共點(diǎn)；
（2）過點(diǎn)P（a，0）作與x軸不垂直的直線l交C1，C2依次為A、B、C、D，若|AB|=|CD|，求實(shí)數(shù)a的變化范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•河北模擬）已知拋物線C1：y2=2px和圓C2：(x-
p
2
)2+y2=
p2
4
，其中p＞0，直線l經(jīng)過C1的焦點(diǎn)，依次交C1，C2于A，B，C，D四點(diǎn)，則
AB
•
CD
的值為
p2
4
p2
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F以及橢圓C2：
y2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓O：x2+y2=1上．
（Ⅰ）求拋物線C1和橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線交拋物線C1于A、B兩不同點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N，已知
NA
=λ1
AF
， 
NB
 =λ2
BF
，求證：λ1+λ2為定值．
（Ⅲ）直線l交橢圓C2于P、Q兩不同點(diǎn)，P、Q在x軸的射影分別為P'、Q'，
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
 +1=0，若點(diǎn)S滿足：
OS
= 
OP
 +
OQ
，證明：點(diǎn)S在橢圓C2上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線C1：y2=4x，圓C2：（x-1）2+y2=1，過拋物線焦點(diǎn)F的直線l交C1于A，D兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），直線l交C2于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在x軸上方）．
（Ⅰ）求|AB|•|CD|的值；
（Ⅱ）設(shè)直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為m、n、p、q，且滿足m+n+p+q=3
2
，并且|AB|，|BC|，|CD|成等差數(shù)列，求出所有滿足條件的直線l的方程．

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