Question

已知函數(shù)f（x）=x+

2

x

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用函數(shù)單調性的定義證明：f（x）在(0，

2

]上單調遞減；
（3）若關于x的方程f（x）-2a=0在(

1

2

，

2

]上有解，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）由于此函數(shù)是由兩個奇函數(shù)的和構成的，可判斷其為奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的定義證明：先證明定義域關于原點對稱，在證明f（-x）=-f（x）即可．
（2）利用函數(shù)的單調性直接證明即可．
（3）利用函數(shù)的單調性，求出函數(shù)在區(qū)間內的值域，然后求出a的范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x+

2

x

的定義域：（-∞，0）∪（0，+∞），定義域關于原點對稱，
在f（x）的定義域內任取一個x，則有f（-x）=（-x）+

2

-x

=-（x+

2

x

）=-f（x）
所以，f（x）是奇函數(shù)．
（2）任設0＜x₁＜x₂＜

2

，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

2

x1

-（x₂+

2

x2

）=x₁-x₂+（

2

x1

-

2

x2

）=（x₁-x₂）

x1x2-2

x1x2

，
因為0＜x₁＜x₂＜

2

，0＜x₁x₂＜2，x₁-x₂＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)在（0，1）上為減函數(shù)．
（3）由（2）可知函數(shù)在(

1

2

，

2

]上是減函數(shù)，所以函數(shù)在(

1

2

，

2

]上的值域為：[2

2

，

9

2

），
關于x的方程f（x）-2a=0在(

1

2

，

2

]上有解，即關于x的方程

1

2

f（x）=a在(

1

2

，

2

]上有解，
所以a∈[

2

，

9

4

)．

點評：本題考查了奇函數(shù)的定義，判斷函數(shù)奇偶性的方法，奇函數(shù)的證明方法；以及利用定義法證明函數(shù)的單調性以及利用函數(shù)的單調性求解函數(shù)的值域的方法，考查分析問題解決問題的能力．