如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PA上的一點，F(xiàn)是BC的中點．
（Ⅰ）求證：EC⊥BD；
（Ⅱ）若PE=EA，求證：EF∥平面PCD．
分析：（1）連接AC，轉(zhuǎn)化為證明直線BD⊥平面PAC；
（2）取PD中點M，連接EM，CM，根據(jù)線面平行的判定定理，只需證明EF∥CM．
解答：證明：（1）連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥BD，
又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵EC?平面PAC，
∴EC⊥BD．
（2）取PD中點M，連接EM，CM，則ME∥AD，ME=
1
2
AD，
∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，
∵F為BC的中點，∴CF∥AD，CF=
1
2
AD，
∴ME∥CF，ME=CF，∴四邊形EFCM是平行四邊形，
∴EF∥CM，又∵EF?平面PCD，CM?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
點評：本題考查線面平行的判定定理及線面垂直的性質(zhì)，理解相關(guān)定理的內(nèi)容是解決該類題目的基礎(chǔ)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=4，PA=3，點A在PD上的射影為點G，點E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（1）求證：AG∥平面PEC；
（2）求AE的長；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E為PB中點
（1）求證；平面ACE⊥面ABCD；
（2）求三棱錐P-EDC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．
（1）求二面角P-CD-A的平面角正切值，
（2）求A到面PCD的距離．

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