Question

（本小題共14分）

在單調(diào)遞增數(shù)列中，，不等式對任意都成立.

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）判斷數(shù)列能否為等比數(shù)列？說明理由；

（Ⅲ）設(shè)，，求證：對任意的，.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 用反證法證明：假設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列, 因為單調(diào)遞增，所以.因為，都成立,從而加以證明。

(3)通過前幾項歸納猜想，然后運用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）解：因為是單調(diào)遞增數(shù)列，

所以，.

令，，，

所以.                  ………………4分 

（Ⅱ）證明：數(shù)列不能為等比數(shù)列.

用反證法證明：

假設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，.

因為單調(diào)遞增，所以.

因為，都成立.

所以，  ①

因為，所以，使得當(dāng)時，.

因為.

所以，當(dāng)時，，與①矛盾，故假設(shè)不成立.………9分

（Ⅲ）證明：觀察： ，，，…，猜想：.

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)時，成立；

（2）假設(shè)當(dāng)時，成立；

當(dāng)時，

 

所以.

根據(jù)（1）（2）可知，對任意，都有，即.

由已知得，.

所以.

所以當(dāng)時，.

因為.

所以對任意，.

對任意，存在，使得，

因為數(shù)列{}單調(diào)遞增，

所以，.

因為，

所以.                 ………………14分

考點：數(shù)列的性質(zhì)

點評：解決數(shù)列的單調(diào)性問題，要根據(jù)定義法來說明，同時要對于正面證明比較難的試題，要正難則反，屬于中檔題。