Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過F₁的直線L與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且|

F1M

|=2|

F1N

|，求直線L的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P點(diǎn)和兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，由|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

列出方程組求解c的值，然后結(jié)合離心率和隱含條件a²=b²+c²求得a，b的值，則橢圓的方程可求；
（2）由題意可知直線L的斜率存在，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后得根與系數(shù)的關(guān)系，由|

F1M

|=2|

F1N

|得到M，N的縱坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系列式求解k的值，則直線L的方程可求．

解答：解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．
則由|OP|=

7

2

，得x02+y02=

7

4

．
由

PF1

•

PF2

=

3

4

，得(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

3

4

．
即x02+y02-c2=

3

4

，∴c=1．
又∵

c

a

=

2

2

，∴a²=2，b²=1．
因此所求橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1；
（2）設(shè)直線L的方程為y=k（x+1），
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1x2=

2(k2-1)

2k2+1

．
∵y₁=-2y₂，
∴

-y2=y1+y2=k(x1+x2+2)= 2k 2k2+1 -2y22=y1y2=k2(x1x2+x1+x2+1)=- k2 2k2+1

，解得：k=±

14

2

．
∴直線L的方程為y=±

14

2

(x+1)．
即

14

x-2y+

14

=0或

14

x+2y+

14

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了設(shè)而不求的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是由向量的關(guān)系得到坐標(biāo)的關(guān)系，是高考試卷中的壓軸題．