Question

如果對(duì)于任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)a，b，c都在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)，則 f（a），f（b），f（c）也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)f（x）為“保三角形函數(shù)”．現(xiàn)有下列五個(gè)函數(shù)：
①f（x）=2x；
②f（x）=e^x；
③f（x）=x²；
④f（x）=

x

；
⑤f（x）=sinx．
則其中是“保三角形函數(shù)”的有

①④

．（寫出所有正確的序號(hào)）

Answer 1

分析：欲判斷函數(shù)f（x）是不是“保三角形函數(shù)”，只須任給三角形，設(shè)它的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a+b＞c，判斷f（a）、f（b）、f（c）是否滿足任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)，即任意兩邊之和大于第三邊即可．因此假設(shè)a≤c且b≤c，在各個(gè)選項(xiàng)中根據(jù)定義和函數(shù)對(duì)應(yīng)法則加以判斷，即可得到只有①④是“保三角形函數(shù)”，而其它的都可舉出反例推翻．

解答：解：任給三角形，設(shè)它的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設(shè)a≤c，b≤c，
對(duì)于①，f（x）=2x，由于f（a）+f（b）=2（a+b）＞2c=f（c），所以f（x）=2x是“保三角形函數(shù)”．
對(duì)于②，f（x）=e^x，設(shè)a=b=2，c=3，a、b、c能構(gòu)成三角形的三邊
因?yàn)閒（a）=f（b）=e²，f（c）=e³，而f（a）+f（b）=2e²＜e³=f（c）
所以f（a）、f（b）、f（c）不能構(gòu)成三角形的三邊，故f（x）=e^x不是“保三角形函數(shù)”．
對(duì)于③，f（x）=x²，3，3，5可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但3²+3²＜5²，
不存在三角形以3²，3²，5²為三邊長(zhǎng)，故f（x）=x²不是“保三角形函數(shù)”．
對(duì)于④，f（x）=

x

，由a+b＞c，可得a+2

ab

+b＞c
兩邊開方得

a

+

b

＞

c

，因此函數(shù)f（x）=

x

是“保三角形函數(shù)”．
對(duì)于⑤，對(duì)于f（x）=sinx，記a=2π，b=3π，c=5π，
則f（a）=f（b）=f（c）=0，不滿足f（a）+f（b）＞f（c）
所以f（x）=sinx，不是“保三角形函數(shù)”．
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題給出新定義，要我們判定符合定義的函數(shù)個(gè)數(shù)．著重考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．解題時(shí)需注意要判斷f（x）為“保三角形函數(shù)”，要經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的論證說(shuō)明f（x）滿足“保三角形函數(shù)”的概念，但要判斷f（x）不為“保三角形函數(shù)”，僅須要舉出一個(gè)反例即可．