Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N⁺）
（1）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n }是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（1）證明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）
又a₁=1，a₂=3
即
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以2為 首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
（2）由（1）知a_n+1-a_n=2ⁿ
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=2ⁿ-1
分析：（1）將已知的遞推關(guān)系變形，利用等比數(shù)列的定義，證得數(shù)列{a_n+1-a_n}成等比數(shù)列．
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n+1-a_n=2ⁿ，然后根據(jù)a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明數(shù)列是等比數(shù)列常用數(shù)列的方法：是定義法與等比中項(xiàng)的方法；注意構(gòu)造新數(shù)列是求數(shù)列的通項(xiàng)的常用的方法．