【答案】
分析:(Ⅰ)求出f(2)和f′(2),利用點斜式寫切線方程.
(Ⅱ)求導,令f′(x)=0,再考慮f(x)的單調性,求極值即可.
(Ⅲ)有(Ⅱ)可知當a>3時f(x)為單調函數(shù),利用單調性直接轉化為k-cosx≤k
2-cos
2x恒成立,分離參數(shù)求解即可.
解答:解:(Ⅰ)解:當a=1時,f(x)=-x(x-1)
2=-x
3+2x
2-x,得f(2)=-2,且f'(x)=-3x
2+4x-1,f'(2)=-5.
所以,曲線y=-x(x-1)
2在點(2,-2)處的切線方程是y+2=-5(x-2),整理得5x+y-8=0.
(Ⅱ)解:f(x)=-x(x-a)
2=-x
3+2ax
2-a
2xf'(x)=-3x
2+4ax-a
2=-(3x-a)(x-a).
令f'(x)=0,解得
或x=a.
由于a≠0,以下分兩種情況討論.
(1)若a>0,當x變化時,f'(x)的正負如下表:
因此,函數(shù)f(x)在
處取得極小值
,且
;
函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值f(a),且f(a)=0.
(2)若a<0,當x變化時,f'(x)的正負如下表:
因此,函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值f(a),且f(a)=0;
函數(shù)f(x)在
處取得極大值
,且
.
(Ⅲ)證明:由a>3,得
,當k∈[-1,0]時,k-cosx≤1,k
2-cos
2x≤1.
由(Ⅱ)知,f(x)在(-∞,1]上是減函數(shù),要使f(k-cosx)≥f(k
2-cos
2x),x∈R
只要k-cosx≤k
2-cos
2x(x∈R)
即cos
2x-cosx≤k
2-k(x∈R)①
設
,則函數(shù)g(x)在R上的最大值為2.
要使①式恒成立,必須k
2-k≥2,即k≥2或k≤-1.
所以,在區(qū)間[-1,0]上存在k=-1,使得f(k-cosx)≥f(k
2-cos
2x)對任意的x∈R恒成立.
點評:本小題主要考查運用導數(shù)研究函數(shù)的性質、曲線的切線方程,函數(shù)的極值、解不等式等基礎知識,考查綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.