Question

設(shè)f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）若a＞0，當x∈[-ln2，ln2]，不等式f（x）-m≥0解集為空集，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，利用比較系數(shù)法即可解出a=±1；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：當a=-1時f'（x）=-e^x+e^-x，可得在[0，+∞）上f'（x）≤0，在（-∞，0]上f'（x）≥0，從而得出此時函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，0]，函數(shù)的減區(qū)間為[0，+∞）．同理可得當a=1時，函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（3）由前面的結(jié)論，算出當x∈[-ln2，ln2]時，函數(shù)f（x）的最大值為

5

2

．由此可得不等式f（x）-m≥0解集為空集時實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）由f （x）為偶函數(shù)知f（-x）=f（x），
即

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

對一切x恒成立，即

1

ae x

+ae x=

ex

a

+

a

ex

恒成立，…（2分）
由此可得a=

1

a

，解之得a=±1…（4分）
（2）若a=-1，則f（x）=-e^x-e^-x，求導(dǎo)數(shù)得f'（x）=-e^x+e^-x
在[0，+∞）上f'（x）≤0，在（-∞，0]上f'（x）≥0，
∴a=-1時，函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，0]，函數(shù)的減區(qū)間為[0，+∞），…（5分）
同理可得a=1時，函數(shù)增區(qū)間為[0，+∞），函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，0]． …（8分）
（3）若a＞0由（1）知a=1，可得f（x）=e^x+e^-x，
∵f （x）是偶函數(shù)及f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，x∈[ln2，ln2]，
∴f（x）∈[f（0），f（ln2）]
∵f（0）=2且f（ln2）=2+

1

2

=

5

2

，可得f(x)∈[2，

5

2

]…（10分）
∴若不等式f（x）-m≥0解集為空集，即f（x）＜m恒成立，只要m＞

5

2

即可，
故實數(shù)m的取值范圍為（

5

2

，+∞）…（12分）

點評：本題著重考查了函數(shù)的奇偶性的定義及其判斷、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立及其參數(shù)取值范圍求法等知識，屬于中檔題．