Question

設(shè)x=1和x=2是函數(shù)f（x）=x⁵+ax³+bx+1的兩個極值點．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點處的值為0，列出方程組，求出a，b的值．
（Ⅱ）將a，b的值代入導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出解集為遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0，求出解集為遞減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）因為f′（x）=5x⁴+3ax²+b
由假設(shè)知：f′（1）=5+3a+b=0，f′（2）=2⁴×5+2²×3a+b=0
解得a=-

25

3

，b=20
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=5x⁴+3ax²+b=5（x²-1）（x⁴-4）=5（x+1）（x+2）（x-1）（x-2）
當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（-1，1）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0
當(dāng)x∈（-2，-1）∪（1，2）時，f′（x）＜0
因此f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-2），（-1，1），（2，+∞）
f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-2，-1），（1，2）

點評：本題考查函數(shù)的極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的符號有關(guān)：導(dǎo)函數(shù)大于0時，函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0時，函數(shù)遞減．