Question

（08年長(zhǎng)郡中學(xué)二模文）（13分）已知函數(shù)f(x)=ax³+bx²－3x在x=±1處取得極值.

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的解析式；

　 （Ⅱ）求證：對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤4；

     （Ⅲ）若過點(diǎn)A（1，m）（m≠－2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

解析：（I）f′(x)=3ax²+2bx－3，依題意，f′(1)=f′(－1)=0，

        即 解得a=1，b=0.∴f(x)=x³－3x.                     （4分）

（II）∵f(x)=x³－3x,∴f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

當(dāng)－1時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)，          （6分）

f_max(x)=f(－1)=2，f_min(x)=f(1)=－2

∵對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，

都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x)－f_min(x)|=2－(－2)=4                        （8分）

  （III）f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，∵曲線方程為y=x³－3x，

∴點(diǎn)A（1，m）不在曲線上.

設(shè)切點(diǎn)為M（x₀，y₀），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足

因，故切線的斜率為，

整理得.∵過點(diǎn)A（1，m）可作曲線的三條切線，

∴關(guān)于x₀方程=0有三個(gè)實(shí)根                    （10分）

設(shè)g(x­₀)= ，則g′(x₀)=6，

由g′(x₀)=0，得x₀=0或x₀­=1.

∴g(x₀)在（－∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減.

∴函數(shù)g(x₀)= 的極值點(diǎn)為x₀=0，x₀=1            （11分）

∴關(guān)于x₀方程=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是

，解得－3－2.

故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是－3－2.                           （13分）