Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若函數(shù)h（x）=|f（x）|-g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a≥-3時(shí)，求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)h（x）=|f（x）|-g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，可知x=1是函數(shù)的零點(diǎn)，因此轉(zhuǎn)化為因式|x-1|-a=0無實(shí)數(shù)根，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a≥-3時(shí)，求出函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）的解析式，根據(jù)分段函數(shù)最值的求法，分別求出各斷上函數(shù)的最值，然后求出它們的最大值即可．
解答：解：（1）∵函數(shù)h（x）=|f（x）|-g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，
即h（x）=|f（x）|-g（x）=|x²-1|-a|x-1|只有一個(gè)零點(diǎn)，
顯然x=1是函數(shù)的零點(diǎn)，
∴即|x-1|-a=0無實(shí)數(shù)根，
∴a＜0；
（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x²-1|+a|x-1|
=，
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，∵a≥-3，
∴，
當(dāng)x=2時(shí)，h（x）的最大值為h（2）=a+3；
當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，，
當(dāng)x=-2時(shí)，h（x）的最大值為h（-2）=3a+3；
當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，h（x）的最大值為max{h（-1），h（1），h（）}=max{0，，2a}=，
∴函數(shù)h（x）最大值為h（a）=．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)和二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，其中求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，求出分段函數(shù)在各斷上的最值，再比較大小是難點(diǎn)，考查運(yùn)算能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．