Question

（2012•閔行區(qū)一模）記函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的最大值與最小值分別為max{f（x）|x∈D}與min{f（x）|x∈D}．設(shè)函數(shù)f（x）=

-x+2b，x∈[1，b] b，      x∈(b，3]

（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，令h（a）=max{g（x）|x∈[1，3]}-min{g（x）|x∈[1，3]}，記d（b）=min{h（a）|a∈R}．
（1）若函數(shù)g（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=

b-1

2

時，求h（a）關(guān)于a的表達(dá)式；
（3）試寫出h（a）的表達(dá)式，并求max{d（b）|b∈（1，3）}．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=

-x+2b，x∈[1，b] b，      x∈(b，3]

（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，可得函數(shù)g（x）的解析式，利用函數(shù)在[1，3]上單調(diào)遞減，即可求a的取值范圍；
（2）當(dāng)b=2a+1時，0＜a＜1，g(x)=

(a-1)x+4a+2，x∈[1，2a+1] ax+2a+1，      x∈(2a+1，3]

，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，即可求h（a）關(guān)于a的表達(dá)式；
（3）g(x)=

(a-1)x+2b，x∈[1，b] ax+b，      x∈(b，3]

，分類討論，確定函數(shù)的最小值，利用函數(shù)的單調(diào)性，確定d（b）=min{h（a）|a∈R}，從而可求max{d（b）|b∈（1，3）}．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

-x+2b，x∈[1，b] b，      x∈(b，3]

（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，
∴g(x)=

(a-1)x+2b，x∈[1，b] ax+b，      x∈(b，3]

（2分）
由題意

a-1＜0 a＜0

，∴a＜0    （4分）
（2）當(dāng)b=2a+1時，0＜a＜1，g(x)=

(a-1)x+4a+2，x∈[1，2a+1] ax+2a+1，      x∈(2a+1，3]

，
顯然g（x）在[1，2a+1]上單調(diào)遞減，在[2a+1，3]上單調(diào)遞增，又此時g（1）=g（3）=5a+1
故max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=g（3）=5a+1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（2a+1）=2a²+3a+1，（4分）
從而：h（a）=-2a²+2a，a∈（0，1）．                          （6分）
（3）g(x)=

(a-1)x+2b，x∈[1，b] ax+b，      x∈(b，3]

①當(dāng)a≤0時，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b-1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b
此時，h（a）=-2a+b-1
②當(dāng)a≥1時，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b-1
此時，h（a）=2a-b+1                （2分）
③當(dāng)0＜a≤

b-1

2

時，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b-1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，
此時，h（a）=a+b-ab-1
④當(dāng)

b-1

2

＜a＜1時，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，
此時，h（a）=3a-ab
故h（a）=

-2a+b-1，a≤0 (1-b)a+b-1，0＜a≤ b-1 2 (3-b)a， b-1 2 ＜a＜1 2a-b+1，a≥1

，（4分）
因h（a）在（-∞，

b-1

2

]上單調(diào)遞減，在[

b-1

2

，+∞）單調(diào)遞增，
故d（b）=min{h（a）|a∈R}=h（

b-1

2

）=

(3-b)(b-1)

2

，（6分）
故當(dāng)b=2時，得max{d（b）|b∈（1，3）}=

1

2

．        （8分）

點評：本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的最值的求解，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．