Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）
（Ⅰ）若a=2時(shí)，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤4的對(duì)一切x∈[a，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x-2|≤4，再由絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）≤4的解集．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[a，2]，不等式即 x+1+x-a≤4，解得 a≥2x-3，求得2x-3的最大值為2×2-3=1，可得a≥1，從而得到 1≤a≤2．
解答：解：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0），若a=2時(shí)，則不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x-2|≤4．
而由絕對(duì)值的意義可得|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而-和應(yīng)點(diǎn)到-2和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于4，
故不等式f（x）≤4的解集為[-，]．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[a，2]，不等式即 x+1+x-a≤4，解得 a≥2x-3．由于2x-3的最大值為2×2-3=1，∴a≥1，
故 1≤a≤2，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，2]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．