Question

設(shè)函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1的極值點(diǎn)是0和4．
（1）求常數(shù)k的值；
（2）確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)兩個(gè)極值點(diǎn)已知，令f′（x）=3kx²+6（k-1）x=0，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，f′（x）=3kx²+6（k-1）x=x²-4x=x（x-4）大于零和小于零分別求出遞增和遞減區(qū)間即可．
（3）把函數(shù)駐點(diǎn)帶到f（x）中，判斷極大極小值即可．

解答：解：（1）f′（x）=3kx²+6（k-1）x，由于極值點(diǎn)是0和4，
∴0和4是方程3kx²+6（k-1）x=0的兩根，可求得k=

1

3

；
（2）由（1）可知f′（x）=3kx²+6（k-1）x=x²-4x=x（x-4），
∴當(dāng)x＜0或x＞4，f（x）為增函數(shù)，
0≤x≤4，f（x）為減函數(shù)；
（3）由（2）可判斷極大值為f(0)=

8

9

，極小值為f(4)=-

88

9

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，理解函數(shù)駐點(diǎn)的意義．