Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率e=

2

2

，且經(jīng)過點M(

2

，  1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F₂，且與橢圓C交于A，B兩點，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差數(shù)列，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)橢圓C的方程根據(jù)離心率和點M求得a和b，進而可得答案．
（2）設(shè)直線l的方程為y=k(x-

2

 )，代入（1）中所求的橢圓C的方程，消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而可得到x₁+x₂和x₁•x₂的表達式，根據(jù)F₁A|+|BF₁|=2|AB|求得k，再判斷直線l⊥x軸時，直線方程不符合題意．最后可得答案．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（其中a＞b＞0）
由題意得e=

c

a

=

2

2

，且

2

a2

+

1

b2

=1，解得a²=4，b²=2，c²=2，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=k(x-

2

 )，代入橢圓C的方程

x2

4

+

y2

2

=1，
化簡得(2+4k2)x2-8

2

k2x+8k2-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

8 2 k2

2+4k2

，x1•x2=

8k2-8

2+4k2

，
由于|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差數(shù)列，則|F₁A|+|BF₁|=2|AB|．
而|F₁A|+|AB|+|BF₁|=4a=8，所以|AB|=

8

3

.|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4 1+k2

1+2k2

=

4(1+k2)

1+2k2

=

8

3

，解得k=±1；
當(dāng)直線l⊥x軸時，x=

2

，代入得y=±1，|AB|=2，不合題意．
所以，直線l的方程為y=±(x-

2

)．

點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準方程和橢圓與其他曲線的關(guān)系．要求學(xué)生綜合掌握如直線、橢圓、拋物線等圓錐曲線的基本性質(zhì)．