【題目】已知圓 經(jīng)過橢圓 的左右焦點(diǎn),且與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為,且三點(diǎn)共線,直線交橢圓, 兩點(diǎn),且).

(1)求橢圓的方程;

(2)當(dāng)三角形的面積取得最大值時(shí),求直線的方程.

【答案】(1;(2

【解析】試題分析:(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,由圓與軸的交點(diǎn),可求得,利用三點(diǎn)共線,由是圓的直徑,從而,利用勾股定理可求得,從而由橢圓的定義可求得,于是得,橢圓方程即得;

(2)是確定的, ,說明,于是直線斜率已知,設(shè)出其方程為,代入橢圓方程,消去的二次方程,從而有分別是的橫坐標(biāo)),由直線與圓錐曲線相交的弦長公式可求得弦長,再由點(diǎn)到直線距離公式求出到直線的距離,可計(jì)算出的面積,最后利用基本不等式可求得面積的最大值,及此時(shí)的值,得直線方程.

解析:

(1)

如圖,圓經(jīng)過橢圓的左、右焦點(diǎn),,所以,解得,因?yàn)?/span>, 三點(diǎn)共線,所以為圓的直徑, 所以,因?yàn)?/span>,所以.所以,由,得.所以橢圓的方程為.

(2)由(1)得,點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)?/span>,所以直線的斜率為,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得,設(shè),由,得.因?yàn)?/span>

所以, 又點(diǎn)到直線的距離為,.當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立,所以直線的方程為.

練習(xí)冊系列答案
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