Question

在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=a，AC=b，AA₁=c，∠BAC=90°．
（1）求使AB₁⊥BC₁的充要條件（用a，b，c表示）；
（2）求證∠B₁AC₁為銳角；
（3）若∠ABC=60°，則∠B₁AC₁是否可能為45？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：分別以AB，AC，AA₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得：A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，c），C1（0，b，c）．
（1）可得=（a，0，c），，令，可得c²-a²=0，進(jìn)而得到答案．
（2）由題意可得：=（a，0，c），=（0，b，c），可得•=c²＞0，進(jìn)而得到答案．
（3）若∠ABC=60°，則b=a，根據(jù)向量的數(shù)量積可得：cos∠B₁AC₁==＜1，即可得到答案．
解答：解：分別以AB，AC，AA₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

因?yàn)锳B=a，AC=b，AA₁=c，
所以由題意可得：A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，c），C1（0，b，c）．
（1）由以上可得：=（a，0，c），，
因?yàn)锳B₁⊥BC₁，
所以，即c²-a²=0，
所以使AB₁⊥BC₁的充要條件是c²-a²=0．
（2）由題意可得：=（a，0，c），=（0，b，c），
所以•=c²＞0，
所以與的夾角為銳角，即∠B₁AC₁為銳角．
（3）若∠ABC=60°，則b=a，
所以cos∠B₁AC₁===＜1，
所以∠B₁AC₁可能為45．
點(diǎn)評(píng)：本小題考查線線垂直、線線角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想像能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．