Question

（2009•閘北區(qū)二模）一種填數(shù)字彩票2元一張，購買者在卡上依次填上0～9中的兩個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)）．中獎(jiǎng)規(guī)則如下：
如果購買者所填的兩個(gè)數(shù)字依次與開獎(jiǎng)的兩個(gè)有序數(shù)字分別對(duì)應(yīng)相等，則中一等獎(jiǎng)10元；
如果購買者所填的兩個(gè)數(shù)字中，只有第二個(gè)數(shù)字與開獎(jiǎng)的第二個(gè)數(shù)字相等，則中二等獎(jiǎng)2元；
其他情況均無獎(jiǎng)金．
（Ⅰ）小明和小輝在沒有商量的情況下各買一張這種彩票，求他倆都中一等獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)“購買一張這種彩票中一等獎(jiǎng)”為事件A，“購買一張這種彩票中二等獎(jiǎng)”為事件B，請(qǐng)指出事件A∪B的含義，并求事件A∪B發(fā)生的概率；
（Ⅲ）設(shè)購買一張這種彩票的收益為隨機(jī)變量ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，小明中一等獎(jiǎng)的概率是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生的所有事件由分步計(jì)數(shù)原理知共有10×10種結(jié)果，滿足條件的事件是1個(gè)，得到小明中一等獎(jiǎng)的概率，由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得到結(jié)果．
（2）事件A∪B的含義是“買這種彩票中獎(jiǎng)”，購買一張這種彩票能夠中獎(jiǎng)包括中一等獎(jiǎng)或中二等獎(jiǎng)，由第一問可知中一等獎(jiǎng)的概率，算出中二等獎(jiǎng)的概率，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
（3）對(duì)應(yīng)不中獎(jiǎng)、中二等獎(jiǎng)、中一等獎(jiǎng)，ξ的 取值可能為-2，0，8，然后求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，
小明中一等獎(jiǎng)的概率是一個(gè)古典概型，
試驗(yàn)發(fā)生的所有事件由分步計(jì)數(shù)原理知共有10×10種結(jié)果，
滿足條件的事件是1個(gè)，
小明（小輝）中一等獎(jiǎng)的概率為P=0.01
由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得到
∴小明，小輝都中一等獎(jiǎng)的概率為p=0.01×0.01=0.0001
（Ⅱ）事件A∪B的含義是“買這種彩票中獎(jiǎng)”，或“買這種彩票中一等獎(jiǎng)或中二等獎(jiǎng)”
顯然，事件A與事件B互斥，
所以，P（A∪B）=P（A）+P（B）=

1

10

×

1

10

+

9

10

×

1

10

=0.1
故購買一張這種彩票能中獎(jiǎng)的概率為0.1．
（Ⅲ）對(duì)應(yīng)不中獎(jiǎng)、中二等獎(jiǎng)、中一等獎(jiǎng)，ξ的分布列如下：

ξ	-2	0	8
P	0.9	0.09	0.01

Eξ=-2×0.9+8×0.01=-1.72
購買一張這種彩票的期望收益為損失1.72元．

點(diǎn)評(píng)：本題包括古典概型，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生和互斥事件的概率，實(shí)際上古典概型是解題的基礎(chǔ)，學(xué)好古典概型可以為其它概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)有利于理解概率的概念，有利于計(jì)算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題．