Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）
（1）求證：{

1

an

+

1

2

}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•an，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若不等式（-1） nλ＜Tn+

n

2n-1

對(duì)一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*），可得

1

an+1

=

an+3

an

=1+

3

an

．變形為

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由（1）可知：b_n，利用“錯(cuò)位相減法”即可得出T_n，利用不等式（-1） nλ＜Tn+

n

2n-1

，通過對(duì)n分為偶數(shù)與奇數(shù)討論即可．

解答：解：（1）由數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*），可得

1

an+1

=

an+3

an

=1+

3

an

．
∴

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，
∴{

1

an

+

1

2

}是首項(xiàng)為

1

1

+

1

2

=

3

2

，公比為3的等比數(shù)列，
∴

1

an

+

1

2

=

3

2

×3n-1，化為an=

2

3n-1

．
（2）由（1）可知：bn=(3n-1)•

n

2n

•

2

3n-1

=

n

2n-1

，
T_n=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

．

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
兩式相減得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
∴Tn=4-

n+2

2n-1

．
∴（-1）ⁿ•λ＜4-

n+2

2n-1

+

n

2n-1

=4-

2

2n-1

．
若n為偶數(shù)，則λ＜4-

2

2n-1

，∴λ＜3．
若n為奇數(shù)，則-λ＜4-

2

2n-1

，∴-λ＜2，解得λ＞-2．
綜上可得-2＜λ＜3．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．