Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

5

6

，a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹（n∈N^*），數(shù)列{b_n}對任何n∈N^*都有b_n=a_n+1-

1

2

a_n
（1）求證{b_n}為等比數(shù)列；
（2）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求

lim

n→∞

S_n．

Answer 1

分析：（1）求證{b_n}為等比數(shù)列，可由等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明，由題設(shè)條件b_n=a_n+1-

1

2

a_n，結(jié)合a₁=

5

6

，a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹（n∈N^*），研究{b_n}相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，再由定義得出結(jié)論．
（2）由（1），求出{b_n}的首項(xiàng)，寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）先由b_n=a_n+1-

1

2

a_n，得到數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系，結(jié)合a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再求出前n項(xiàng)和，求極限即可．

解答：證明：（1）bn+1=an+2-

1

2

an+1=

1

3

an+1+(

1

2

)n+2-

1

2

[

1

3

an+(

1

2

)n+1]=

1

3

（an+1-

1

2

an）=

1

3

b_n
若b_n=0，則an+1=

1

2

an，可得出

1

2

an=

1

3

an+(

1

2

)n+1，解得a_n=3×(

1

2

)n
∴a₁=

3

2

，不滿足條件，故

bn+1

bn

=

1

3

，即數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）b1=a2-

1

2

a1=

1

3

a1+(

1

2

)2-

1

2

a1=

1

9

，∴bn=(

1

3

)n+1
（3）an+1-

1

2

an=bn=(

1

3

)n+1，又an+1=

1

3

an+(

1

2

)n+1
∴

1

3

an+(

1

2

)n+1-

1

2

an=(

1

3

)n+1，∴a_n=3×(

1

2

)n-2×(

1

3

)n
S_n=3[

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+(

1

2

)n]-

1

2

[

1

3

+

1

9

+

1

27

+…+(

1

3

)n]
=3×

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-2×

1 3 ×[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=(

1

3

)n-3×(

1

2

)n+2
∴

lim

n→∞

S_n=2

點(diǎn)評：本題考查求數(shù)列的極限，是數(shù)列中綜合性強(qiáng)難度較大的題，解此類題的關(guān)鍵是充分理解并運(yùn)用題設(shè)中的條件及數(shù)列的相關(guān)的性質(zhì)，求出數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的n項(xiàng)和，的表達(dá)式，再根據(jù)極限的運(yùn)算法則，求出數(shù)列的極限，本題考查了推理判斷的能力及構(gòu)造變形的能力，運(yùn)算較繁瑣，易出錯．