Question

在數(shù)列，求證：
（I）a_n＞1，n∈N^*；
（II）當(dāng)a₁≤．

Answer 1

【答案】分析：（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明，分為兩大步：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即a_k＞1．證明當(dāng)n=k+1時(shí)不等式仍成立．即可得出結(jié)論：
（II）由（I）知，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞n；對(duì)于n≥2，利用作差法證得：a_n＜1+（-1），對(duì)于n∈N^*，利用等比數(shù)列的求和公式結(jié)合放縮法即可證得n∈N^*，有n＜S_n＜n+1．
解答：證明：（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明，
（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即a_k＞1．
．
得a_k+1＞1，即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式仍成立．
根據(jù)（1）和（2），對(duì)任何n∈N^*都有a_n＞1．…（4分）
（II）由（I）知，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞n；…（5分）
對(duì)于n≥2，a_n-1=-1），…（7分）
＞1，∴
即a_n＜1+（-1），…（10分）
對(duì)于n∈N^*，

=．
綜上，n∈N^*，有n＜S_n＜n+1．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法和等比數(shù)列的求法及無(wú)窮數(shù)列所有項(xiàng)的和的求法．