Question

（2013•深圳二模）定義 ρ（x，y）=|e^x-y|-y|x-ln y|，其中 x∈R，y∈R⁺．
（1）設 a＞0，函數 f（x）=ρ（x，a），試判斷 f（ x） 在定義域內零點的個數；
（2）設 0＜a＜b，函數 F（x）=ρ（x，a）-ρ（x，b），求 F（ x） 的最小值；
（3）記（2）中的最小值為T（a，b），若{an }是各項均為正數的單調遞增數列，證明：

n

i=1

T（a_i，a_i+1 ）＜（a_n+1-a₁） ln 2．

Answer 1

分析：（1）通過對x分x≥lna與x≤lna的討論，去掉絕對值符號，再利用導數判斷函數的單調性，即可判斷 f（ x） 在定義域內零點的個數；
（2）通過對x分①x≤lna＜lnb，②lna≤x≤lnb，③lna＜lnb≤x三類討論，利用導數可判斷各區(qū)間上的單調性及最值情況，從而可求得F（x）有最小值；
（3）先證明T（a_i，a_i+1 ）＜（a_i+1-a_i）ln 2，i∈N^*，?證明a_ilna_i+a_i+1lna_i+1-（a_i+a_i+1）ln

ai+ai+1

2

＜（a_i+1-a_i）ln2，i∈N^*，將a_i視為常數，a_i+1視為變量，構造下列函數：G（t）=a_ilna_i+tlnt-（a_i+t）ln

ai+t

2

-（t-a_i）ln2，其中t≥a_i＞0，利用導數可判斷G（t）在[a_i，+∞）上單調遞減，從而可證得結論．

解答：解：（1）f（x）=|e^x-a|-a|x-ln a|（a＞0），函數f（x）的定義域為R．
當x≥lna時，e^x≥a，f（x）=e^x-ax+alna-a，
∵f′（x）=e^x-a≥0，
∴f（x）在[lna，+∞）上為增函數，…2分
當x≤lna時，e^x≤a，f（x）=ax-e^x-alna+a，
∵f′（x）=a-e^x≥0，
∴f（x）在（-∞，lna]上為增函數，…4分
綜上所述，f（x）在定義域內為增函數，又f（lna）=|a-a|-a|lna-lna|=0，
∴f（ x） 在定義域內有且只有一個零點…5分
（2）易知F（x）的定義域為R，F′（x）=ρ′（x，a）-ρ′（x，b），而0＜a＜b，
∴l(xiāng)na＜lnb，由（1）容易得到下列結論：
①當x≤lna＜lnb時，F′（x）=（a-e^x）-（b-e^x）=a-b＜0，
∴F（x）在（-∞，lna]上為減函數，從而F（x）≥F（lna）…6分
②lna≤x≤lnb時，F′（x）=（e^x-a）-（b-e^x）=2e^x-（a+b），
令F′（x）=0，得x=ln

a+b

2

．
當lna≤x＜ln

a+b

2

時，F′（x）＜0，F，（x）單調遞減，
當ln

a+b

2

＜x≤lnb時，F′（x）＞0，F，（x）單調遞增，
∴當x=ln

a+b

2

時，F（x）有最小值F（ln

a+b

2

）…7分
③lna＜lnb≤x時，F′（x）=（e^x-a）-（e^x-b）=b-a＞0，
∴F（x）在[lnb，+∞）上為增函數，從而F（x）≥F（lnb）…8分
綜上述，當x=ln

a+b

2

時，F（x）有最小值F（ln

a+b

2

）=alna+blnb-（a+b）ln

a+b

2

，…10分
（3）由（2）知T（a，b）=alna+blnb-（a+b）ln

a+b

2

，
先證明T（a_i，a_i+1 ）＜（a_i+1-a_i）ln 2，i∈N^*，即證明
a_ilna_i+a_i+1lna_i+1-（a_i+a_i+1）ln

ai+ai+1

2

＜（a_i+1-a_i）ln2，i∈N^*，
將a_i視為常數，a_i+1視為變量，構造下列函數：
G（t）=a_ilna_i+tlnt-（a_i+t）ln

ai+t

2

-（t-a_i）ln2，其中t≥a_i＞0．
則G′（t）=lnt+1-ln

ai+t

2

-1-ln2=ln

t

ai+t

＜0，
∴G（t）在[a_i，+∞）上單調遞減，
而G（a_i）=a_ilna_i+a_ilna_i-2a_ilna_i-（a_i-a_i）ln2=0，
∵{an }是各項均為正數的單調遞增數列，
a_i+1＞a_i，i∈N^*，
∴G（a_i+1）＜0，
即a_ilna_i+a_i+1lna_i+1-（a_i+a_i+1）ln

ai+ai+1

2

＜（a_i+1-a_i）ln2，i∈N^*，
∴T（a_i，a_i+1 ）＜（a_i+1-a_i）ln 2，i∈N^*，…12分
于是，

n

i=1

T（a_i，a_i+1 ）＜

n

i=1

（a_i+1-a_i）ln 2=（a_n+1-a₁）ln 2…14分

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查利用導數研究函數的單調性及導數在最大值、最小值問題中的應用，考查構造的函數思想與抽象思維與推理證明的能力，屬于難題．