Question

設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：對(duì)于任意的自然數(shù)n，都有．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足，試求數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)；
（Ⅲ）令c₁=3，c_n=3a_n-1（n≥2），，是否存在自然數(shù)c，k，使得成立？證明你的論斷．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 類比于已知Sn求a_n，寫(xiě)出n+1時(shí)表達(dá)式，再兩式相減，易得．
（Ⅱ）可求得，利用作差法判定單調(diào)性，求最大項(xiàng)
（Ⅲ） ，再求出Sn代入表達(dá)式，解關(guān)于c，k的不定方程，探討解的情況．
解答：解：（1）由題意，知：．           ①
當(dāng)n≥2時(shí)，．        ②
由①-②，知：當(dāng)n≥2時(shí)，，即．    
當(dāng)n=1時(shí)，log_0.5a₁=1，適合上式．
所以，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是．         
（2）由（1）知：．
由，即．        
解得：7≤n≤8
因?yàn)閚∈N^*，所以，n=7或8
（3）由題意，知：當(dāng)n≥2時(shí)，．
又c₁=3適合上式，故數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式為．     
所以，．                     
假設(shè)存在自然數(shù)c，k，使得成立．即．
所以，
所以，
即
所以，
因?yàn)閏，k為自然數(shù)，所以，（6-c）•2^k比為整數(shù)，
所以，（6-c）•2^k=7，所以，，即k=0，c=-1，不合題意
所以，不存在自然數(shù)c，k，使得成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、求和，數(shù)列的單調(diào)性、不定方程的解．考查分析解決問(wèn)題、計(jì)算、邏輯思維，分類討論的思想方法和能力．