Question

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為2

3

的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥SB；
（2）求三棱錐B-CMN的體積．

Answer 1

分析：（1）取AC 中點(diǎn)D，連接SD，DB，證明AC⊥平面SDB，由線面垂直的性質(zhì)可得AC⊥SB；
（2）由V_B-CMN=V_N-CMB，即可求得三棱錐B-CMN的體積．

解答：（1）證明：取AC中點(diǎn)D，連接SD，DB．
因?yàn)镾A=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，
因?yàn)镾D∩BD=D，所以AC⊥平面SDB．
又SB?平面SDB，所以AC⊥SB；
（2）解：因?yàn)锳C⊥平面SDB，AC?平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC．
過N作NE⊥BD于E，則NE⊥平面ABC，
因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC．
又因?yàn)镹E⊥平面ABC，所以NE∥SD．
由于SN=NB，所以NE=

1

2

SD=

1

2

所以S_△CMB=

1

2

CM•BM=

3 3

2

所以V_B-CMN=V_N-CMB=

1

3

S_△CMB•NE=

1

3

×

3 3

2

×

1

2

=

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．