Question

已知f（x）是R上的一個(gè)偶函數(shù)，g（x）是R上的一個(gè)奇函數(shù)，且滿足f（x）=g（x）+a^x（a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）設(shè)f( 1 )=

5

4

，求a與f（2）的值；（3）設(shè)f（x₀）=m，f（2x₀）=m，求x₀與m的值．

Answer 1

（滿分12分）
（1）由題設(shè)知f（x）=g（x）+a^x（a＞0，a≠1，x∈R）…①
以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x
又f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）所以f（x）=-g（x）+a^-x…②
由①+②得f(x)=

ax+a-x

2

（a＞0，a≠1，x∈R）；…（4分）
（2）由f(1)=

a+a-1

2

=

5

4

?a=2或a=

1

2

?f(2)=

a2+a-2

2

=

17

8

；…（8分）
（3）由f（x₀）=f（2x₀）?ax0+a-x0=a2x0+a-2x0=(ax0+a-x0)2-2，
所以ax0+a-x0=2?x₀=0；m=f（x₀）=f（0）=1…（12分）