Question

10．如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=$\sqrt{3}$，AB=1，AD=2，∠BAD=120°，E，G，H分別是BC，PC，AD的中點(diǎn)．
（1）求證：PH∥平面GED；
（2）求二面角G-ED-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接EH，CH，CH交ED于點(diǎn)F，連接FG．利用平行四邊形的性質(zhì)可得BH$\underset{∥}{=}$EC，于是四邊形CDHE是平行四邊形，可得點(diǎn)F是對角線CH的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理可得：FG∥PH．利用線面平行的判定定理可得：PH∥平面GED．
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角公式即可得出二面角G-ED-A的余弦值．

解答 （1）證明：連接EH，CH，CH交ED于點(diǎn)F，連接FG．
∵E，H分別是平行四邊形ABCD的對邊AB，BC的中點(diǎn)，∴BH$\underset{∥}{=}$EC，
∴四邊形CDHE是平行四邊形，
∴點(diǎn)F是對角線CH的中點(diǎn)，
又G是PC的中點(diǎn)，∴FG∥PH．
而PH?平面GED，F(xiàn)G?平面GED，
∴PH∥平面GED．
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．A（0，0，0），
P（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，2，0），E$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，0）$，C$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0）$，
G$（\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．$\overrightarrow{DE}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{3}{2}，0）$，$\overrightarrow{GE}$=$（\frac{\sqrt{3}}{4}，-\frac{1}{4}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
設(shè)平面GED的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{3}{2}y=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}x-\frac{1}{4}y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$．
取x=3，則y=$\sqrt{3}$，z=1．
∴$\overrightarrow{m}$=$（3，\sqrt{3}，1）$．
取平面AED的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
∴二面角G-ED-A的余弦值為$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間平行與垂直的位置關(guān)系、法向量的夾角求二面角的平面角、平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．