Question

從8名運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力賽，在下列條件下，各有多少種不同的排法？（用數(shù)字結(jié)尾）
（1）甲、乙兩人必須跑中間兩棒；
（2）若甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒；
（3）若甲、乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒．

Answer 1

分析：（1）甲、乙兩人必須跑中間兩棒，甲和乙兩個(gè)人本身有一個(gè)排列，余下的兩個(gè)位置需要在6個(gè)人中選個(gè)排列
（2）甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒，需要從甲和乙兩個(gè)人中選出一個(gè)有C₂¹種結(jié)果，需要在第一和第四棒中選一棒，有C₂¹種結(jié)果，另外6個(gè)人要選三個(gè)在三個(gè)位置排列．
（3）首先甲和乙兩個(gè)人在相鄰的位置本身有A₂²種結(jié)果，其余6名同學(xué)選兩人三個(gè)元素在三個(gè)位置排列共有C₆²A₃³種結(jié)果，根據(jù)計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．

解答：解：（1）甲、乙兩人必須跑中間兩棒，甲和乙兩個(gè)人本身有一個(gè)排列，
余下的兩個(gè)位置需要在6個(gè)人中選2個(gè)排列
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知道共有A₂²A₆²=60
（2）甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒，
需要從甲和乙兩個(gè)人中選出一個(gè)有C₂¹種結(jié)果，
需要在第一和第四棒中選一棒，有C₂¹種結(jié)果，
另外6個(gè)人要選三個(gè)在三個(gè)位置排列，根據(jù)計(jì)數(shù)原理共有C₂¹C₂¹A₆³=480
（3）∵甲、乙兩名同學(xué)必須入選，而且必須跑相鄰兩棒
∴首先甲和乙兩個(gè)人在相鄰的位置本身有A₂²種結(jié)果，
其余6名同學(xué)選兩人三個(gè)元素在三個(gè)位置排列共有C₆²A₃³種結(jié)果，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到共有A₂²C₆²A₃³=180，

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是排列問題，把排列問題包含在實(shí)際問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，解出結(jié)果以后再還原為實(shí)際問題．