Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為，且橢圓經(jīng)過圓C：x²+y²-3x+4y=0的圓心C．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與橢圓交于A，B兩點，點P（0，）且|PA|=|PB|，求直線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）圓C：x²+y²-3x+4y=0的圓心C（1，-2），設(shè)橢圓方程為，依題意有，由此能求出橢圓方程．
（2）由，得（k²+2）x²+2kx-5=0，由△=4k²+20（k²+2）=24k²+40＞0，知直線與橢圓必有兩個不同的交點，設(shè)兩交點坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點M（），由此入手，能夠求出直線方程．
解答：解：（1）圓C：x²+y²-3x+4y=0的圓心C（1，-2），
設(shè)橢圓方程為，
依題意有，解得，
∴橢圓方程為．
（2）由，得（k²+2）x²+2kx-5=0，
∴△=4k²+20（k²+2）=24k²+40＞0，
故直線與橢圓必有兩個不同的交點，
設(shè)兩交點坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點M（），
∴，，
∴，，
∵|PA|=|PB|，∴PM⊥AB，
①當(dāng)k=0時，直線l：y=1，此時A，B關(guān)于y軸對稱，滿足PM⊥AB；
②當(dāng)k≠0時，==-1（k≠0），
解得k=1或k=-1，
∴直線l：y=x+1或y=-x+1．
綜上所述，直線l的方程為y=1或y=x+1或y=-x+1．
點評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，具體涉及到圓的性質(zhì)、橢圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用、根的判別式、韋達(dá)定理等基本知識點，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．