Question

某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起了一座蔬菜加工廠，經(jīng)營中，第一年支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元．設(shè)f（n）表示前n年的純利潤總和，（f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額72萬元）．
（ I）該廠從第幾年開始盈利？
（ II）該廠第幾年年平均純利潤達到最大？并求出年平均純利潤的最大值．

Answer 1

（ I）依題意，根據(jù)f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額72萬元
可得f（n）=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-72=-2n²+40n-72
由f（n）＞0，即-2n²+40n-72＞0
解得2＜n＜18
由于n∈N₊，故從第三年開始贏利．
（II）年平均純利潤

f(n)

n

=40-2(n+

36

n

)
∵n+

36

n

≥12
∴40-2(n+

36

n

)≤16
∴

f(n)

n

≤ 16
當(dāng)且僅當(dāng)n=6時等號成立，此時年平均純利潤最大值為16萬元，
即第6年，投資商年平均純利潤達到最大，年平均純利潤最大值16萬元．