Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，設(shè)AE=x（0＜x＜2）．
（Ⅰ）證明：A₁D⊥D₁E；
（Ⅱ）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD₁的距離；
（Ⅲ）x為何值時(shí)，二面角D₁-EC=D=的大小為45°．

Answer 1

分析：法一：
（Ⅰ）由AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D?平面AA₁DD₁，知A₁D⊥AE，再由AA₁DD₁為正方形，利用直線與平面垂直的性質(zhì)，能夠證明A₁D⊥D₁E．
（Ⅱ） 設(shè)點(diǎn)E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD1=

5

，AD1=

2

，先求出△AD₁C和△ACE的面積，再求出三棱錐D₁-AEC的體積，由此能夠求出點(diǎn)E到面ACD₁的距離．
（Ⅲ） 過(guò)D作DH⊥CE于H，連D₁H，則D₁H⊥CE，則∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角，由此能求出二面角D₁-EC-D的大小為45°時(shí)x的取值．
法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A （1，0，0），C（0，2，0），利用向量法進(jìn)行求解．

解答：（本小題滿分14分）
解法一：
（Ⅰ） 證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，
A₁D?平面AA₁DD₁，
∴A₁D⊥AE，…（1分）
AA₁DD₁為正方形，
∴A₁D⊥AD₁，…（2分）
又A₁D∩AE=A，∴A₁D⊥平面AD₁E，…（3分）
∴A₁D⊥D₁E．…（4分）
（Ⅱ） 設(shè)點(diǎn)E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD1=

5

，AD1=

2

，
故S△AD1C=

1

2

×

2

×

5- 1 2

=

3

2

，而S△ACE=

1

2

×AE×BC=

1

2

，…（6分）
∴VD1-AEC=

1

3

S△AEC×DD1=

1

3

S△AD1C×h，…（8分）
即 

1

2

×1=

3

2

×h，從而h=

1

3

，所以點(diǎn)E到面ACD₁的距離為

1

3

．…（9分）
（Ⅲ） 過(guò)D作DH⊥CE于H，連D₁H，則D₁H⊥CE，
∴∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角，∴∠DHD₁=45⁰．…（11分）
∵D₁D=1，∴DH=1，又DC=2，∴∠DCH=30°，…（12分）
∴∠ECB=60°，又BC=1，在Rt△EBC中，得EB=

3

，…（13分）
∴AE=2-

3

，∴x=2-

3

時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為45⁰．…（14分）
解法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A （1，0，0），C（0，2，0），…（2分）
（Ⅰ）

DA1

=(1，0，1)，

D1E

=(1，x，-1)，
因?yàn)?span id="btrhbdp" class="MathJye">

DA1

•

D1A

=（1，0，1）×（1，x，-1）=0，所以

DA1

⊥

D1E

，…（6分）
（Ⅱ）由E為AB的中點(diǎn)，有E（1，1，0），從而

D1E

=(1，1，-1)，

AC

=(-1，2，0)，

AD1

=(-1，0，1)，設(shè)平面ACD₁的法向量為

n

=（a，b，c），則

n • AC =0 n • AD1 =0

，
也即

-a+2b=0 -a+c=0

，得

a=2b a=c

，從而

n

=（2，1，2），…（8分）
所以點(diǎn)E到平面ACD₁的距離為h=

| D1E × n |

| n |

=

2+1-2

3

=

1

3

．…（10分）
（Ⅲ） 顯然

DD1

是平面AECD的一個(gè)法向量．設(shè)平面D₁EC的法向量為

n

=（a，b，c），
∴

CE

=（1，x-2，0），

D1C

=(0，2，-1)，

DD1

=(0，0，1)，
由

n • D1C =0 n • CE =0

⇒

2b-c=0 a+b(x-2)=0

，令b=1，∴c=2，a=2-x，
∴

n

=（2-x，1，2）…（12分）
依題意cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n |×| DD1 |

=

2

2

⇒

2

(x-2)2+5

=

2

2

．
∴x1=2+

3

（不合題意，舍去），x2=2-

3

．
∴x=2-

3

時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為45⁰．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明、點(diǎn)到平面的距離、求二面角的大�。�解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和向量法的合理運(yùn)用．