Question

已知橢圓C：的離心率等于，點(diǎn)P在橢圓上。

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，是否存在定直線(xiàn)：，使得與的交點(diǎn)總在直線(xiàn)上？若存在，求出一個(gè)滿(mǎn)足條件的值；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，.

【解析】

試題分析：（1）由，點(diǎn)代入橢圓方程，二者聯(lián)立可以解出；（2）以的存在性分兩種情況：①不存在，直線(xiàn):,易證符合題意；②存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn):，用直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，消參得一元二次方程，利用韋達(dá)定理得，，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000463860078602/SYS201309200047428290381155_DA.files/image011.png">共線(xiàn)，有，由得，得出，由于成立，所以點(diǎn)在直線(xiàn)上，綜上:存在定直線(xiàn):,使得與的交點(diǎn)總在直線(xiàn)上,的值是.

試題解析：（1）由，               2分

又點(diǎn)在橢圓上，，               4分

所以橢圓方程是：；                       5分

（2）當(dāng)垂直軸時(shí)，，則的方程是：，

的方程是：，交點(diǎn)的坐標(biāo)是：，猜測(cè):存在常數(shù),

即直線(xiàn)的方程是:使得與的交點(diǎn)總在直線(xiàn)上,         6分

證明：設(shè)的方程是，點(diǎn)，

將的方程代入橢圓的方程得到：，

即：，                  7分

從而：，                 8分

因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000463860078602/SYS201309200047428290381155_DA.files/image037.png">，共線(xiàn)

所以：，，                  9分

又，

要證明共線(xiàn)，即要證明，            10分

即證明：，

即：，

即：

因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000463860078602/SYS201309200047428290381155_DA.files/image047.png">成立，       12分

所以點(diǎn)在直線(xiàn)上。

綜上:存在定直線(xiàn):,使得與的交點(diǎn)總在直線(xiàn)上,的值是.  13分

考點(diǎn)：1.橢圓的離心率；2.韋達(dá)定理；3.分類(lèi)討論法解題.