Question

已知直線L：x=my+1過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
（1）若拋物線x2=4

3

y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（2）對于（1）中的橢圓C，若直線L交y軸于點(diǎn)M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，當(dāng)m變化時(shí)，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線x2=4

3

y的焦點(diǎn)為（0，

3

），且為橢圓C的上頂點(diǎn)，可得b²=3，又F（1，0），可得c=1，從而可得a²=b²+c²=4，故可求橢圓C的方程；
（2）l與y軸交于M(0，-

1

m

)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由

x=my+1 3x2+4y2-12=0

可得：（3m²+4）y²+6my-9=0，故△=144（m²+1）＞0，利用韋達(dá)定理可得

1

y1

+

1

y2

=

2m

3

，根據(jù)

MA

=λ1

AF

，可得λ1=-1-

1

my1

，同理λ2=-1-

1

my2

，從而可求λ₁+λ₂的值．

解答：解：（1）拋物線x2=4

3

y的焦點(diǎn)為（0，

3

），且為橢圓C的上頂點(diǎn)
∴b=

3

，∴b²=3，
又F（1，0），∴c=1，a²=b²+c²=4．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）l與y軸交于M(0，-

1

m

)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
由

x=my+1 3x2+4y2-12=0

可得：（3m²+4）y²+6my-9=0，故△=144（m²+1）＞0．
∴y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

∴

1

y1

+

1

y2

=

2m

3

．
又由

MA

=λ1

AF

，得(x1，y1+

1

m

)=λ1(1-x1，-y1)．
∴λ1=-1-

1

my1

．
同理λ2=-1-

1

my2

．
∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)=-2-

2

3

=-

8

3

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交，考查向量知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理解題．