Question

（1）設0＜x＜，求函數y=4x（3-2x）的最大值；
（2）已知x，y都是正實數，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值．

Answer 1

解：（1）∵0＜x＜，∴3-2x＞0．
∴y=4x•（3-2x）=2[2x（3-2x）]≤2[]²=．
當且僅當2x=3-2x，即x=時，等號成立．
∵∈（0，），
∴函數y=4x（3-2x）（0＜x＜）的最大值為．

（2）由x+y-3xy+5=0得x+y+5=3xy．
∴2+5≤x+y+5=3xy．
∴3xy-2-5≥0，
∴（+1）（3-5）≥0，
∴≥，即xy≥，
等號成立的條件是x=y．
此時x=y=，
故xy的最小值是．
分析：（1）先根據x的范圍確定3-2x的符號，再由y=4x•（3-2x）=2[2x（3-2x）]結合基本不等式的內容可得到函數的最大值．
（2）先根據x+y-3xy+5=0得到x+y+5=3xy，進而可根據基本不等式得到2+5≤x+y+5=3xy，根據一元二次不等式的解法得到的范圍，進而可得到xy的范圍，即可求出xy的最小值．
點評：本題主要考查基本不等式的用法和一元二次不等式的解法．應用基本不等式時注意“一正、二定、三相等”的原則．