已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點．

(1)如圖(甲)中，F(xiàn)、G分別是BC、CD的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)如圖(乙)中，若F是BC上的點，G是DC上的點，且，求證：四邊形EFGH是梯形，并且直線EF、GH、AC共點．

答案：
解析：

　　證明：(1)如圖(甲)，連結BD．

　　∵EH是的△ABD中位線，

　　∴EHBD，同理FGBD

　　根據(jù)公理4，EHFG

　　∴四邊形EFGH是平行四邊形．

　　(2)如圖(乙)由(1)知EHBD，又在△ABD中，

　　∴FG∥BD，F(xiàn)G＝BD

　　由公理4，∴EH∥FG，又FG＞EH．

　　∴四邊形EFGH是梯形．

　　則直線EF、GH相交，設EF∩GH＝P

　　則P∈EF，又EF平面ABC

　　∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC．

　　又平面ABC∩平面ADC＝AC

　　由公理2，得P∈AC，

　　即EF、GH、AC三條直線共點．

　　點評：證明四邊形是平行四邊形或者梯形，首先必須證明它是平面圖形，本題中的EH∥FG是關鍵


練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點．
求證：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段AE上確定一點F，使得GF∥平面CDE．

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(本小題滿分12分)

如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC, AD=BD,E是AB的中點，

求證：

AB⊥平面CDE；

平面CDE⊥平面ABC;

若G為△ADC的重心，試在線段AB上確定一點F，使得GF∥平面CDE.

 

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如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點．
求證：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段AE上確定一點F，使得GF∥平面CDE．
精英家教網(wǎng)

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