Question

已知函數(shù)f（x）=2^2x-2^x+1+2，定義域為M，值域為[1，2]，則下列說法中一定正確的序號是________
（1）M=[0，2]；（2）M=（-∞，1]；（3）M⊆（-∞，1]；（4）0∈M；（5）1∈M．

Answer 1

解：由于f（x）=2^2x-2^x+1+2=（2^x-1）²+1∈[1，2]，
∴2^x-1∈[-1，1]，即2^x∈[0，2]
∴x∈（-∞，1]即函數(shù)f（x）=2^2x-2^x+1+2的定義域（-∞，1]；
當函數(shù)的最小值為1時，僅有x=0，
故 （4）0∈M 正確，
當函數(shù)值為2時，僅有x=1滿足，故（5）1∈M正確
又必有M⊆（-∞，1]； 故（3）正確
當M=[0，1]時，此時函數(shù)的值域是[1，2]，∴M=（-∞，1]不一定正確，故（2）錯誤；
當x=2時，函數(shù)值為10，故 （1）M=[1，2]不正確
綜上，一定正確的結論的序號是（3）（4）（5）；
分析：可先研究值域為[1，2]時函數(shù)的定義域，再研究使得值域為[1，2]的函數(shù)的最小的自變量的取值集合，研究函數(shù)值為1，2時對應的自變量的取值，由此即可判斷出正確結論的序號．
點評：本小題主要考查函數(shù)的定義域及其求法、元素與集合關系的判斷、集合的包含關系判斷及應用等基礎知識，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題