Question

已知橢圓的兩焦點為F₁（0，-1）、F₂（0，1），直線y=4是橢圓的一條準線．
（1）求橢圓方程；
（2）設點P在橢圓上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求tan∠F₁PF₂的值．

Answer 1

分析：（1）先判斷橢圓的焦點在x軸上，再根據條件求出a²、b²即可；
（2）利用橢圓的定義，求出|PF₁|，|PF₂|與|F₁F₂|，利用余弦定理求得角的余弦值，再利用同角三角函數基本關系式求其正切值．

解答：解：（1）根據題意，橢圓的焦點在y軸上，且c=1，

a2

c

=4，
∴a²=4，b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程是

y2

4

+

x2

3

=1；
（2）∵P在橢圓上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
又|PF₁|-|PF₂|=1，∴|PF₁|=

5

2

，|PF₂|=

3

2

，|F₁F₂|=2，
∴cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2×|PF2|×|PF1|

=

3

5

，
∴sin∠F₁PF₂=

4

5

，
∴tan∠F₁PF₂=

sin∠F1PF2

cos∠F1PF2

=

4

3

點評：本題考查橢圓的標準方程及橢圓的性質．