Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）的單調性；
（3）求關于x的不等式f（2x-1）+f（x+3）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，利用指數(shù)的運算法則化簡f（x）、f（-x），由函數(shù)奇偶性的定義判斷出奇偶性；
（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調性判斷出f（x）的單調性，利用定義法證明函數(shù)單調性步驟：取值、作差、變形、定號、下結論進行證明；
（3）由奇函數(shù)的性質等價轉化不等式f（2x-1）+f（x+3）＞0，由單調性列出不等式求出解集．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為R，
因為f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2（2}^{x}+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{2}{{2}^{x}+1}-1）$=$\frac{1}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}$，
所以f（-x）=$\frac{1}{{2}^{-x}+1}-\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}$，
則f（x）+f（-x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}$=0，
所以f（x）是奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
由（1）得，f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}$，
設任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{1}{2}$）
=$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{（2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)；
 （3）由（1）得f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式f（2x-1）+f（x+3）＞0等價于f（2x-1）＞f（-x-3），
∵函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
∴2x-1＜-x-3，解得x＜$-\frac{2}{3}$，
∴不等式的解集是（-∞，$-\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查了利用定義法證明函數(shù)的奇偶性、單調性，指數(shù)的運算法則、指數(shù)函數(shù)的單調性，利用函數(shù)的單調性和奇偶性求不等式的解集，考查轉化思想，化簡、變形能力．