Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2AB．點E是PD的中點．
（I）求證：AE∥平面PBC；
（II）求證：平面ABE⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】分析：（I）取PC的中點F，連接BF，EF，根據(jù)中位線定理可知EF而AB∥CD，CD=2AB，可知四邊形EFBA為平行四邊形，從而AE∥BF而AE?平面PBC，BF?平面PBC，滿足線面平行的判定定理，從而得證；
（II）根據(jù)線面垂直可證得AB⊥PA，而AB⊥AD，AD∩PA=A，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AB⊥面PAD，而AE?平面PAD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知AB⊥AE而AB∥CD，從而AE⊥CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知AE⊥PD，而PD∩CD=D，則AE⊥平面PCD，而AE?平面ABE，滿足面面垂直的判定定理所需條件．
解答：解：（I）取PC的中點F，連接BF，EF
∵點F為PC的中點，點E為PD的中點
∴EF而AB∥CD，CD=2AB．
∴EFEF即四邊形EFBA為平行四邊形
∴AE∥BF而AE?平面PBC，BF?平面PBC
∴AE∥平面PBC；
（II）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD
∴AB⊥PA，而AB⊥AD，AD∩PA=A
∴AB⊥面PAD，而AE?平面PAD
∴AB⊥AE而AB∥CD
∴AE⊥CD
∵PA=AD，點E是PD的中點
∴AE⊥PD，而PD∩CD=D
∴AE⊥平面PCD
而AE?平面ABE
∴平面ABE⊥平面PCD
點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及線面垂直的判定和面面垂直的判定，同時考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題．