Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，an+1=2an+k2n（k是與n無關(guān)的常數(shù)且k≠0），若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，則k的取值范圍為

(-∞，-

1

2

)

．

Answer 1

分析：由an+1=2an+k2n（k是與n無關(guān)的常數(shù)且k≠0），變形為

an+1

2n+1

=

an

2n

+

k

2

，可得數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，即可得到a_n．由于數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，因此a_n+1-a_n＜0對于?n∈N^*都成立?k＜(

-1

n+1

)min．求出即可．

解答：解：∵an+1=2an+k2n（k是與n無關(guān)的常數(shù)且k≠0），∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+

k

2

，
∴數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，首項為

a1

21

=

1

2

，公差為

k

2

，
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)•

k

2

，∴an=2n-1[1+(n-1)k]．
∵數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ（1+nk）-2^n-1[1+（n-1）k]=2^n-1[1+（n+1）k]＜0對于?n∈N^*都成立．
∴k＜

-1

n+1

對于?n∈N^*都成立?k＜(

-1

n+1

)min．
令f（n）=-

1

n+1

，則f（n）是關(guān)于n的單調(diào)遞增數(shù)列，
∴f(n)min=-

1

2

．
∴k＜-

1

2

．
∴k的取值范圍為(-∞，-

1

2

)．
故答案為(-∞，-

1

2

)．

點(diǎn)評：本題考查了通過變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)列的通項公式的求法、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、數(shù)列的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．